第587章超越ω级，层层序数(提示，本章略复杂)

第587章超越ω级，层层序数(提示，本章略复杂) (第1/2页)

在【超限序数】这一数学理论体系中，存在着所谓的三类条件。
　　
　　一、反自反：
　　
　　即，如果a≤b，且b≤a，则a=b。
　　
　　二、传递性：
　　
　　即，如果a≤b，且b≤c，则a≤c。
　　
　　三、完备性：
　　
　　若a≤b或者b≤a，那么便不存在无法比较的情况。
　　
　　事实上，一切知性生灵所知的自然数范畴到实数范畴内的‘≤’都符合这些性质。
　　
　　这些性质，也正是奠定各类集合间【全序关系】的基础。
　　
　　至于所谓的全序关系，便是集合层面上的比大小操作。(详见580章)
　　
　　任意两个良序集合，假若可以建立一一对应关系。
　　
　　那么，就可以说其是【同序数】。
　　
　　其实不仅仅是序数，在庞大的数学领域中，亦存在着大量类似通过某种一一对应的变换，来建立两个对象性质相似性的定义。
　　
　　其名称，也与‘同序数’这一概念颇为近似。
　　
　　譬如同构，同态等等等等。
　　
　　如果要将【同序数】这一概念，再进行一番更为细致也更为形象的比喻性描述，那么就可以用【银河霸主】这一大境界来作例子。
　　
　　在银河霸主大境之中，若以实力高低为凭，从最低的一阶开始一路往上数。
　　
　　二阶、三阶、四阶……一直数到最高的十阶顶尖霸主。
　　
　　那么这套力量等级体系，就共计拥有十个阶数。
　　
　　其按照实力高低，从小到大就构成了一个良序集。(良序集定义详见580章)
　　
　　与此同时，自然数从1到10也能构成一个良序集。
　　
　　显然，银河霸主一～十阶，与自然数1～10，是可以一一对应的。
　　
　　并且这两者的对应结构，也是保持了顺序的。
　　
　　所以，就可以说【银河霸主】等级体系，与自然数1到10的这个集合，为【同序数】。
　　
　　也可以更简单的说成，序数是10。
　　
　　由此推及到更大的层次，那么全体自然数，显然也能构成一个全序集，或者说一个良序集。
　　
　　只是，其并非有限集，而是无穷集。
　　
　　这个无穷集，就是最小的超限序数w，亦是穆苍初登无穷之际的实力层次。
　　
　　当然，只是祂初登无穷时的层次。
　　
　　至于现在的穆苍，则早已远远凌驾在了w级数之上不知凡几。
　　
　　可是w……就已然是切切实实的无穷大。
　　
　　对于无穷大，还能怎样超越呢？
　　
　　答案是，可以超越。
　　
　　只不过，需要打开脑洞，展开一场思维风暴。
　　
　　开始！
　　
　　提问，怎样在自然数集合w中，通过增加一个元素，来得到一个更高阶更巨大的超限序数呢？
　　
　　乍一想，这好像是无法做到的。
　　
　　因为在自然数集合w中，已经存在了无穷多个元素。
　　
　　若想要再加入一个元素，同时还要保持w良序集的性质，这又该往哪里加呢？
　　
　　先不要思考答案，可以将这个问题翻转一下。
　　
　　翻转之后即是……能否从全体自然数w中，拿走足够多的元素，用来构造一个更小的无穷序数呢？
　　
　　只要稍微思考一下，便会知晓这一问题和【希尔伯特旅馆悖论问题】十分相似，或者说大差不差，都属于是对无穷集合的思考与讨论。
　　
　　总之，即便从全体自然数集合w中拿走任意多的元素，可只要还剩下无穷多个元素，那么w便还是与全体自然数同序数。
　　
　　既然问题已经翻转过了，那么现在，就将结论也翻转一次吧。
　　
　　翻转之后便是，往w中添加任意多元素，是毫无意义的。
　　
　　即便加了，得到的也依然是与自然数集合同等大小的序数集。
　　
　　所以，现在应该要怎么做呢？
　　
　　要怎样做才能突破w，到达那更高阶的无穷大层次呢？
　　
　　很简单，在全体自然数【末尾】，添加一个元素。
　　
　　可是，全体自然数有无穷多个，要如何操作，才能在其按照常理根本就不可能存在的所谓【末尾】，添加上一个元素呢？
　　
　　注意，这就是【超限序数】理论中的关键点。
　　
　　至关重要！
　　
　　如果能够理解这一关键点，能够理解如何〖在全体自然数末尾添加一个元素〗这一操作。
　　
　　那么便能十分容易，甚至可以说是水到渠成的完全理解穆苍现今所在的实力层次。
　　
　　可若是无法理解。
　　
　　那么，就将穆苍当成一般的无穷大吧。
　　
　　因为对一切有限数生灵来说，无论哪一种级别的无穷大，都是没有多大区别的，都是永远无法企及的神之层次。
　　
　　现在，开始脑洞。
　　
　　先进行一番思考，为何要在全体自然数【末尾】添加一个元素？
　　
　　原因，就在于想要得到一个比w更大的超限序数，继而去靠近去理解穆苍所在的层次。
　　
　　按照序数理论中的定义，序数必须是一个可以顺次排序的良序集。
　　
　　那么想要‘扩大’一连串已然排列好的全体自然数，当然就只能在其【末尾】，进行元素添加操作。
　　
　　但是按照原先全体自然数w中自带的比大小方法，显然不可能找到任何一个会比全体自然数都大的数。
　　
　　因此，这就需要略微修改一下序数理论中有关于【序关系】的定义，继而去寻找另一种比大小的方法，使得突破w这一趟探寻，能够继续进行下去。
　　
　　于是一直这样探寻下去，不断探寻下去。
　　
　　最终，便可以发现在那【集合理论】体系中，天然就存在着一种比大小方法。
　　
　　即是【子集】，或可称【包含】关系。
　　
　　由此，就可以尝试着将自然数，通过使用【集合】的方法，进行一番再定义。
　　
　　特别需要说明的是，这种方法在诸多三维宇宙的地球人类文明中，是由博弈论之父和计算机之父——约翰·冯·诺依曼创立出来的。
　　
　　下面开始进行：
　　
　　因为最小的集合是空集，那么就可以把0定义为空集。
　　
　　即：0=?
　　
　　接着对于1，便可以很自然的定义成拥有一个元素的集合。
　　
　　这个元素，就是0。
　　
　　即：1={?}={0}
　　
　　继续，对于2，亦可以将其定义为：
　　
　　2={0，1}
　　
　　对于3，则可以定义为：
　　
　　3={0，1，2}
　　
　　由此，不断的类推下去。
　　
　　那么，就可以最终推论出全体自然数N，便是以0到n-1，共计拥有n个元素的集合。
　　
　　

（本章未完，请点击下一页继续阅读）